Differentiaalvergelijkingen: de oplossing ‘raden’

Dit is een van mijn favoriete methoden om aan de particuliere oplossing te komen, omdat het relatief snel en pijnloos is (en ik vrijwel altijd goed raad ūüėõ ). Als je niet voldoende op je wiskunde-fu vertrouwt om de oplossing te kunnen raden (of je wilt niet riskeren dat je fout raadt en zo kostbare tijd verspilt op een tentamen), ga dan alsnog voor de vijfstappenmethode. Deze zou in principe altijd moeten werken.

Tip: De particuliere oplossing is vrijwel altijd van dezelfde vorm als wat er rechts van het =-teken staat.

Dus als de rechterkant een polynoom is (een constante is een polynoom van graad 0), is je particuliere oplossing waarschijnlijk ook een polynoom (bijv. opgave 8.6.2). Is het een sinus of cosinus, dan is jouw oplossing waarschijnlijk ook een sinus en/of cosinus (bijv. opgave 8.6.17). Idem voor e-machten  (bijv. opgave 8.6.9) etc.

Voorbeeld

Laten we bijv. kijken naar een (inhomogene) differentiaalvergelijking als¬†y” +¬†2y’¬†= 2x.

Stap 1: Los de homogene vergelijking (y” +¬†2y’¬†= 0) op.

Gebruik hiervoor de hulpvergelijking. Stel¬†y is van de vorm¬†emx, dan is je eerste afgeleide¬†y’ = memx en je tweede afgeleide¬†y” = m2emx. Je hulpvergelijking wordt dan¬†m2+2m = 0 (e-macht wegdelen) ofwel¬†m (m+2) = 0, dus¬†m1 = 0 en¬†m2 = -2.

Je complementaire oplossing is dan: yc = Ae0 + Be-2x = A + Be-2x

Stap 2: Los de inhomogene vergelijking op.

Dit kun je doen d.m.v. de vijfstappenmethode, óf je kunt gaan raden. In dit geval zie je dat de rechterkant van de vergelijking 2x is, ofwel een polynoom van graad 1. Je kunt er dan de donder op zeggen dat je particuliere oplossing ook een polynoom gaat zijn.

De grote vraag is dan: van welke graad?¬†De rechterkant is van graad 1 (algemene vorm:¬†y = ax + b), maar dit gaat in ons geval niet werken. Om dit in te zien, moet je naar de vergelijking kijken. Daarin staan een eerste en een tweede afgeleide, maar niet y zelf. De eerste afgeleide van¬†ax + b is alleen maar¬†a en de tweede afgeleide is 0, dus als je een oplossing van deze vorm gaat proberen (invullen in y” +¬†2y’), krijg je er nooit 2x uit.

Dus: we kunnen als oplossing een polynoom van graad 2 proberen,¬†bijv.¬†y =¬†ax2 +¬†bx + c.¬†De eerste afgeleide is dan¬†y’ =¬†2ax + b en de tweede afgeleide¬†y” = 2a.

Dit invullen in de vergelijking:

y” + 2y’ = 2a + 2 (¬†2ax + b ) = 4ax + 2a +¬†2b

Je wilt dat dit gelijk is aan 2x (de rechterkant van de vergelijking). Dan weet je meteen twee dingen:

  1. 4ax = 2x dus a = 1/2
  2. 2a +¬†2b = 0, dus 2 ‚ąô 1/2 +¬†2b = 0, dus¬†b = -1/2

Je particuliere oplossing wordt dan: yp = 1/2 x2 Р1/2 x + c. Die constante c zien we helemaal niet terug in de twee afgeleiden, dus kunnen we net zo goed 0 kiezen.

Stap 3: Kijk of je oplossing klopt.

Dan gaan we onze¬†yp¬†=¬†1/2¬†x2¬†– 1/2¬†x twee keer afleiden:¬†y’p¬†=¬†x¬†–¬†1/2 en¬†y”p¬†=¬†1. Invullen:

y” +¬†2y’¬†=¬†1 + 2 (x – 1/2)

En dat is inderdaad 2x!

Op dezelfde manier kan je als de rechterkant een sinus is een sinus proberen, een e-macht wanneer de rechterkant een e-macht is, etc.

Tip: Let erop dat jouw gerade oplossing niet al in de complementaire oplossing zit!

Als de rechterkant van je differentiaalvergelijking bijv. e2x is, maar je complementaire oplossing bevat ook al een e2x, probeer dan x e2x als particuliere oplossing. En als die óók al in je complementaire oplossing zit (ofwel: wanneer je de hulpvergelijking oplost, krijg je m1 = m2 = 2), probeer dan x2 e2x. (Vgl. bijv. opgave 8.6.9 van ODE1-2.)

About

PhD candidate at Utrecht University and VU University Amsterdam, the Netherlands.

Posted in DIVA Tagged with: , ,

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

*